代数 已知{An}满足 A1 = 1/3 , A(n+1) = An/3 +1 求通项An.

A(n+1) = An/3 +1
可以配成：A(n+1) -3/2 = An/3 - 1/2
A(n+1) -3/2= (1/3）*（An - 3/2）
所以{An - 3/2}是等比数列，
公比 q = 1/3，首项是A1 - 3/2= 1/3 - 3/2 = - 7/6
An - 3/2 = (A1- 3/2) * q^(n-1) = (-7/6)*(1/3)^(n-1)
An = 3/2 - (7/6)*(1/3)^(n-1)

设A(n+1)+x=(An+x)/3
则x=-3/2
A(n+1)-3/2=(An-3/2)/3
An-3/2=(1/3)的n-1次方A1-3/2=（1/3)的n-1次方*-7/6
An=（1/3)的n-1次方*-7/6+3/2
这是做此类题的常用方法。设未知数配，转换为等比数列处理。

解：设 A<n+1>+t=1/3(An+t)
则得到A<n+1>=1/3An-2/3t
又 A(n+1) = An/3 +1
所以 t=-2/3
所以原来的数列可以看成是 An+t的一个等比数列 且 公比是1/3
因为A<n+1>+t 除以 An+t =1/3
因此由等比数列的 通项公式得 An+t=(A1+t)1/3^(n-1)
将t=-2/3带入，得An-2/3=1/3^n
An=1/3^n+2/3

A(n)= An-1/3 +1 A(n+1) = An/3 +1 相减得『A(n+1) - An』/『An - A(n-1)』=1/3 所以A(n+1) - An为等比数列,可知A2 = 10/9,首项A1-A2 = 1/3-S10/9=-7/9 Sn=『-7/9(1-1/3^n)』/(1-1/3)=-7/6(1-1/3^n)=1/3-A(n+1),所以 A(n)= 1/3+7/6『1-1/3^(n-1)』

An=5/3*(1/3)^(n-1)-3/2.